Resenhas - Os Elementos

Marcos606 12/04/2023

Euclides entendeu que a construção de uma geometria (e matemática) lógica e rigorosa depende da fundação - uma fundação que Euclides começou no Livro I com 23 definições, cinco suposições não comprovadas que Euclides chamou de postulados (agora conhecidos como axiomas) e cinco outras suposições não comprovadas que ele chamou de noções comuns. O Livro I então prova teoremas elementares sobre triângulos e termina com o teorema de Pitágoras.

O Livro II tem sido chamado de álgebra geométrica porque estabelece identidades algébricas como teoremas sobre figuras geométricas equivalentes. O Livro II contém uma construção da “seção”, a divisão de uma linha em duas partes, de modo que a razão do segmento maior para o menor seja igual à razão da linha original para o segmento maior. (Essa divisão foi rebatizada de seção áurea na Renascença depois que artistas e arquitetos redescobriram suas proporções agradáveis.) O Livro II também generaliza o teorema de Pitágoras para triângulos arbitrários, um resultado que é equivalente à lei dos cossenos. O Livro III trata das propriedades dos círculos e o Livro IV da construção dos polígonos regulares, em particular o pentágono.

O Livro V muda da geometria plana para expor uma teoria geral de razões e proporções que é atribuída por Proclo a Eudoxo de Cnido. Embora o Livro V possa ser lido independentemente do restante dos Elementos, sua solução para o problema dos incomensuráveis ​​(números irracionais) é essencial para os livros posteriores. Além disso, formou a base para uma teoria geométrica dos números até uma teoria analítica desenvolvida no final do século XIX. O Livro VI aplica essa teoria de razões à geometria plana, principalmente triângulos e paralelogramos, culminando na “aplicação de áreas”, um procedimento para resolver problemas quadráticos por meios geométricos.

Os livros VII–IX contêm elementos da teoria dos números, onde número significa inteiros positivos maiores que 1. Começando com 22 novas definições — como unidade, par, ímpar e primo — esses livros desenvolvem várias propriedades dos inteiros positivos. Por exemplo, o Livro VII descreve um método, antanaresis (agora conhecido como o algoritmo euclidiano), para encontrar o maior divisor comum de dois ou mais números; O livro VIII examina os números em proporções contínuas, agora conhecidas como sequências geométricas; e o Livro IX prova que há um número infinito de primos.

De acordo com Proclus, os livros X e XIII incorporam o trabalho do pitagórico Teeteto (c. 417–369 a.C). O Livro X, que compreende aproximadamente um quarto dos Elementos, parece desproporcional à importância de sua classificação de linhas e áreas incomensuráveis ​​(embora o estudo desse livro inspirasse Johannes Kepler [1571-1630] em sua busca por um modelo cosmológico).

Os livros XI–XIII examinam figuras tridimensionais. O Livro XI trata das interseções de planos, linhas e paralelepípedos. O livro XII aplica o método de exaustão de Eudoxus para provar que as áreas dos círculos estão entre si como os quadrados de seus diâmetros e que os volumes das esferas estão entre si como os cubos de seus diâmetros. O livro XIII culmina com a construção dos cinco sólidos regulares platônicos (pirâmide, cubo, octaedro, dodecaedro, icosaedro) em uma determinada esfera.

Quase desde a época em que foi escrito, os Elementos exerceram uma influência contínua e importante nos assuntos humanos. Euclides estabeleceu um padrão para raciocínio dedutivo e instrução geométrica que persistiu, praticamente inalterado, por mais de 2.000 anos.

dragãozinho 20/02/2024

Tecnicamente inspirador
Uma leitura de certa forma bem árdua, e bem técnica! talvez a dificuldade venha da linguagem antiga (já que o livro foi escrito no ano 300 a. c.) entretanto foi o livro que inspirou Newton a desenvolver o Cálculo e não só ele como Leibniz também, há em mim uma certa fascinação pela matemática que por vezes ao invés de repudiar por não entendê-la me sinto curiosamente cativado e vejo uma estranha beleza em virtude dos teoremas e da própria ?Geometria Euclidiana? recomendo a leitura para qualquer estudante de matemática e também para físicos que desejam aumentar o seu repertório no conhecimento matemático.

Geisalanis 29/10/2024

Leitura para uma disciplina de doutorado puramente acadêmica e sem muito o que escrever sobre. Apenas cumprindo a resenha